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單光子雪崩探測(cè)器 （SPAD） 偏置于擊穿上方，由于倍增增益非常高，即使在檢測(cè)到單個(gè)光子時(shí)也會(huì)產(chǎn)生較大的雪崩電流。然而，由于半導(dǎo)體中可以通過(guò)熱生成形成電子-空穴對(duì)，即使沒(méi)有任何光子存在，即在黑暗條件下，也會(huì)觸發(fā)雪崩。描述這種現(xiàn)象的指標(biāo)通常稱為暗計(jì)數(shù)率，有時(shí)也稱為暗噪聲。它表示每秒暗雪崩的數(shù)量。此示例演示了如何模擬Si SPAD中的暗計(jì)數(shù)率。我們還展示了針對(duì)專有 Si SPAD 器件的暗計(jì)數(shù)率測(cè)量的基準(zhǔn)測(cè)試。

概述

本例中DCR的計(jì)算包括兩個(gè)主要步驟：使用Ansys Lumerical CHARGE模擬電場(chǎng)和熱生成速率，然后在Ansys Lumerical腳本中計(jì)算雪崩觸發(fā)概率和暗計(jì)數(shù)率。如上圖所示。

運(yùn)行和結(jié)果部分中模擬的 2D SPAD 設(shè)備表示用于說(shuō)明模擬工作流的示例設(shè)備。要查看針對(duì)實(shí)際測(cè)量設(shè)備的基準(zhǔn)仿真結(jié)果，請(qǐng)轉(zhuǎn)到附錄。此示例需要版本 2023 R2.1 或更高版本才能運(yùn)行。

第 1 步：模擬電場(chǎng)和暗發(fā)生率

此步驟是使用Ansys Lumerical CHARGE進(jìn)行的給定了摻雜曲線、材料和幾何形狀的典型半導(dǎo)體器件仿真。該步驟尚不支持 3D模擬，因此仿真以 2D 形式進(jìn)行，仿真時(shí)需要關(guān)閉沖擊電離模型，器件偏置掃描至擊穿電壓以上。關(guān)閉沖擊電離模型是因?yàn)樵诤罄m(xù)的步驟2中我們會(huì)使用雪崩觸發(fā)概率 （ATP） 模型，這會(huì)使仿真變得簡(jiǎn)單直接（沖擊電離模型的典型 CHARGE 方程出現(xiàn)收斂問(wèn)題的概率非常低）。

第 2 步：計(jì)算雪崩觸發(fā)概率和暗計(jì)數(shù)率

雪崩觸發(fā)概率 （ATP） 是一個(gè)介于 0 和 1 之間的無(wú)單位數(shù)字，表示在 Si SPAD 內(nèi)部某個(gè)位置產(chǎn)生的單個(gè)電子-空穴對(duì)將導(dǎo)致自我維持雪崩的概率。可以使用lumerical腳本命令中的atp指令，基于步驟1中Si SPAD的Ansys Lumerical CHARGE仿真得到的輸入電場(chǎng)和溫度，計(jì)算出每一條電場(chǎng)場(chǎng)對(duì)應(yīng)的ATP。我們通過(guò)在一束場(chǎng)線上運(yùn)行 atp 命令來(lái)獲得 2D ATP。目前，腳本無(wú)法以 3D 形式計(jì)算 ATP。有關(guān)如何計(jì)算非硅材料的 ATP 的更多信息，請(qǐng)參閱“進(jìn)一步應(yīng)用模型”部分。

暗計(jì)數(shù)率 （DCR） 是衡量在黑暗條件下每秒觸發(fā) SPAD 事件數(shù)的指標(biāo)（即由于 SPAD 內(nèi)部的熱過(guò)程）。這是從熱生成速率（即每秒在每個(gè)位置產(chǎn)生的電子-空穴對(duì)數(shù)）和ATP（即在某個(gè)位置產(chǎn)生的單個(gè)電子-空穴對(duì)導(dǎo)致自持雪崩的概率）得出的綜合量。考慮的熱生成速率是陷阱輔助SRH復(fù)合和帶間隧穿（BBT），它們是DCR的最主要來(lái)源。在此示例中，我們根據(jù)步驟1和2D ATP的熱生成率結(jié)果，在Ansys Lumerical腳本中計(jì)算DCR,作為后處理。

運(yùn)行和結(jié)果

第 1 步：模擬電場(chǎng)和暗發(fā)生率

打開(kāi)并運(yùn)行 CHARGE 項(xiàng)目文件 spad_charge_project.ldev。這將運(yùn)行SPAD設(shè)備的2D CHARGE仿真，如下圖所示（分別為網(wǎng)格上的CAD模型和摻雜曲線）。

電壓范圍足夠高，以確保高于擊穿范圍。必須關(guān)閉乘法區(qū)域材料（此處為 Si）中的沖擊電離模型。這確保了在步驟 2 中模擬 ATP 計(jì)算的正確電場(chǎng)。步驟 1 的主要結(jié)果是 2D 電場(chǎng)（如下圖左圖所示）和熱復(fù)合率（如下圖右圖所示）為 -30 V 偏置時(shí)的凈復(fù)合 （SRH + BBT）。在這種偏差下，凈重組以 BBT 為主，而 BBT 則在最大領(lǐng)域占主導(dǎo)地位，如下圖所示。

第 2 步：計(jì)算雪崩觸發(fā)概率 （ATP） 和暗計(jì)數(shù)率 （DCR）

當(dāng)文件 spad_charge_project.ldev 仍處于打開(kāi)狀態(tài)時(shí)，打開(kāi)并運(yùn)行腳本文件 calculate_atp_2d.lsf。確保文件 calculate_atp_2d_helper.lsf 位于同一文件夾中，因?yàn)樗恍┰赾alculate_stp_2d.lsf腳本里需要用到的函數(shù)。

在此步驟中，我們將從步驟 1 的 CHARGE 仿真中提取電場(chǎng)以及 SRH 和 BBT 復(fù)合速率，并使用它們來(lái)計(jì)算 2D ATP 和 DCR。2D ATP 的計(jì)算基于 Lumerical 內(nèi)置腳本命令 atp，該命令沿一條電場(chǎng)線計(jì)算 ATP。隨后，通過(guò)對(duì) 2D ATP 和熱生成速率（負(fù)復(fù)合）的乘積進(jìn)行積分，我們計(jì)算出 DCR 與電壓的函數(shù)關(guān)系。

下圖顯示了三種不同電壓（-21 V、-25 V、-30 V）下的二維 ATP，其中擊穿電壓約為 -20 V。在這些圖中，最小值為 0，最大值為 1。

下圖顯示了-30 V（從左到右）時(shí)的SRH和BBT復(fù)合率，以及DCR與電壓的關(guān)系圖。DCR 圖顯示了 SRH 和 BBT 復(fù)合速率的獨(dú)立貢獻(xiàn)，其中當(dāng)頻帶間隧穿勢(shì)壘變得足夠小時(shí)，BBT 貢獻(xiàn)在更高的過(guò)電壓下開(kāi)始占主導(dǎo)地位。

此示例中模擬的 2D SPAD 設(shè)備表示用于說(shuō)明仿真工作流的示例設(shè)備。

重要模型設(shè)置

摻雜曲線

了解確切的摻雜曲線對(duì)于模擬雪崩觸發(fā)概率計(jì)算所需的準(zhǔn)確電場(chǎng)曲線非常重要。在附錄中所示的基準(zhǔn)示例中，我們使用 CHARGE 中的功能來(lái)導(dǎo)入用戶定義的摻雜曲線。其他選擇是使用CHARGE中的分析摻雜曲線模型之一，例如常數(shù)摻雜、擴(kuò)散摻雜或植入摻雜。

熱復(fù)合模型

在黑暗條件下觸發(fā)SPAD是由于載流子的熱產(chǎn)生。最重要的熱復(fù)合機(jī)制是具有陷阱輔助隧穿和帶間隧穿 （BBT） 的 SRH。SRH復(fù)合通常在較低的過(guò)電壓（高于擊穿）下占主導(dǎo)地位，而B(niǎo)BT復(fù)合通常在較高的過(guò)電壓下占主導(dǎo)地位，當(dāng)電場(chǎng)變得足夠高以降低隧穿勢(shì)壘時(shí)。

這兩個(gè)模型可以在材料屬性的“重組”選項(xiàng)卡中啟用。當(dāng)分別使用 Klaassen 和 Hurkx 模型來(lái)計(jì)算 SRH 復(fù)合模型的摻雜劑和場(chǎng)依賴性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)與 Si SPAD 的測(cè)量結(jié)果非常吻合，而 Hurkx 模型則用于 BBT 重組模型。有關(guān) Klaassen 和 Hurkx 模型中的合理參數(shù)，請(qǐng)查看 CHARGE 項(xiàng)目文件。

SRH重組模型中的載流子壽命

在此示例中，載波壽命（材料屬性中的 taun 和 taup）設(shè)置為合理的值。它們應(yīng)被視為常數(shù)，其值對(duì)應(yīng)于 300 K。摻雜劑依賴性 Klaassen 模型中已經(jīng)包含了溫度依賴性。我們建議將此參數(shù)視為固定參數(shù)，而不是擬合陷阱能級(jí)，但如果需要改進(jìn)與測(cè)量值的擬合，可以將其視為擬合參數(shù)。

SRH復(fù)合模型中的陷阱能級(jí)

該參數(shù)（材料屬性中的 Ei 偏移量）是一個(gè)擬合參數(shù)，用于獲得與測(cè)量值的良好匹配。用戶可以使用此示例中此參數(shù)的值作為合理的起點(diǎn)。

帶間隧穿重組模型中的預(yù)因子

該參數(shù)（Hurkx BBT 模型中指數(shù)前面的前因子）是一個(gè)擬合參數(shù)，用于獲得與測(cè)量值的良好匹配。用戶可以使用此示例中此參數(shù)的值作為合理的起點(diǎn)。

步驟 2 腳本中的計(jì)算控制參數(shù)

這些參數(shù)用于指定步驟 2 中 2D ATP 和 DCR 計(jì)算的重要輸入，例如計(jì)算域、電壓范圍、乘法區(qū)域中的材料名稱（應(yīng)與 ldev 文件中對(duì)象樹(shù)中的名稱匹配）等。用戶應(yīng)仔細(xì)調(diào)整這些參數(shù)以用于自己的Si SPAD設(shè)備。

進(jìn)一步應(yīng)用模型

非硅材料

在此示例中，重點(diǎn)是 Si SPAD 器件，并針對(duì) Si 調(diào)整了復(fù)合速率模型的所有材料參數(shù)。

此外，Lumerical 內(nèi)置腳本命令 atp 有兩個(gè)接口，一個(gè)適用于硅，一個(gè)適用于非硅材料。

在第一個(gè)界面中，用戶必須指定沿一條電場(chǎng)線的電場(chǎng)和溫度。在本例中，我們使用適合 Si 的沖擊電離模型，根據(jù)提供的電場(chǎng)和溫度計(jì)算沖擊電離系數(shù)。該模型在 1975 年定義的，Okuto，半導(dǎo)體結(jié)中雪崩擊穿電壓的閾值能量效應(yīng)。同一參考也提供了 Ge 的參數(shù)。

在第二個(gè)ATP接口中，用戶可以直接提供沿一條電場(chǎng)線計(jì)算的沖擊電離系數(shù)，而不是提供電場(chǎng)和溫度。這樣，任何任意沖擊電離模型都可以由用戶在腳本中實(shí)現(xiàn)，并作為 atp 的輸入提供。

3D ATP模型

目前，步驟 2 中的腳本在二維空間中計(jì)算雪崩觸發(fā)概率。因此，電場(chǎng)的CHARGE模擬也是在步驟1中以2D方式完成的。啟用 3D ATP 需要對(duì)步驟 2 中的兩個(gè)腳本進(jìn)行重要的修改。如果用戶需要 3D 并且無(wú)法進(jìn)行所需的修改，可以尋求技術(shù)支持。

附錄

模擬 DCR 與測(cè)量 DCR 的比較

為了對(duì)我們的仿真結(jié)果進(jìn)行基準(zhǔn)測(cè)試，我們與TRIUMF 的探測(cè)器設(shè)計(jì)研究小組合作。他們與合作伙伴合作，在專有的Si SPAD器件上進(jìn)行了DCR測(cè)量。通過(guò)將專有設(shè)備的摻雜曲線導(dǎo)入CHARGE并遵循本例中概述的仿真工作流程，我們能夠獲得與測(cè)量結(jié)果的良好匹配，如下圖所示：